I-4. Savoir dire « OU »

Que peut-on découvrir avec deux informations ?

 I-6. Algèbre de Boole pour deux propositions.
Page suivante

  • D’après ce qui précède (Phénomèbe binaire §2 ), avec une seule proposition A nous pouvons dire soit que A est vraie, soit que A est fausse (ou que \bar{A} est vraie). Autrement dit, à une proposition correspondent deux possibilités.
  • Avec deux propositions A, B, nous avons déjà défini deux nouvelles propositions (et, ou). D’où se pose la question : « Combien de propositions peut-on former avec deux propositions » ? Autrement dit, combien de circuits, logiques ou électriques, peut-on obtenir à l’aide de deux propositions initiales ?

Pour répondre à cette question il suffit de remplir, de toutes les façons possibles, les cases libres de la table de valeur ci-contre.

• Quelles sont ces possibilités ?
— mettre quatre 1 : un cas ;
— mettre trois 1 et un zéro : quatre cas ;
— mettre deux 1 et deux zéros : six cas ;
— mettre un 1 et trois zéros : quatre cas ;
— mettre quatre zéros : un cas ;
il y a donc seize possibilités.
A B
F F
F V
V F
V V
  • Devrons-nous construire seize circuits logiques différents pour exprimer, à la sortie, ces seize «/nbsp ;programmes » ? Non, car il est aisé de montrer que ces résultats s’expriment uniquement à l’aide des circuits « non », « et », « ou » (on peut même montrer qu’ils s’expriment avec deux seulement d’entre eux).Par exemple, d’après les résultats des paragraphes 2, 3, 4 :
    • — La table I ci-dessous correspond à « non (A ou B) », soit \overline{\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|}. En effet, par rapport à la table du paragraphe 4, les 0 sont remplacés par de 1 et inversement.

— La table II ci-dessous correspond à « (non A) ou B », soit \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\B\end{array}\right|.

A B \overline{A}.\overline{B}
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
Table I
A B \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\B\end{array}\right|
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Table II

 

  • — La table III ci-dessous correspond à « non (A et B) , soit \overline{AB}
  • En effet, par rapport à la table du paragraphe 3, les 0 et 1 ont été échangés.
    A B \overline{\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|}
    0 0 1
    0 1 1
    1 0 1
    1 1 0
    Table III
    A B  ?
    0 0 0
    0 1 1
    1 0 1
    1 1 0
    Table IV

  • — À quoi correspond la table IV ci-dessus ? Les tables ci-dessous, construites de droite à gauche, montrent que la table IV correspond à \left|\begin{array}{c}A\overline{B}\\\overline{A}B\end{array}\right|. Remarquons que cette table IV correspond au « ou exclusif » (en français : « soit…, soit…» ; de deux choses l’une, ou bien…ou bien). En effet, le résultat prend la valeur vraie (3^\mathrm{\grave{e}me} et 4^\mathrm{\grave{e}me} lignes) lorsque l’une des deux propositions A ou B est vraie à l’exclusion de l’autre.

    A B
    0 0
    0 1
    1 0
    1 1
    \mathbf{\bar{B}}
    1
    0
    1
    0
    \mathbf{A \bar{B}}
    0
    0
    1
    0
    \mathbf{\bar{A}}
    1
    1
    0
    0
    \mathbf{\bar{A}B}
    0
    1
    0
    0
    \left|\begin{array}{c}\mathbf{A\bar{B}}\\ \mathbf{\bar{A}B}\end{array}\right|
    0
    1
    1
    0

     

    Un bon exercice consiste à procéder de même pour chacune des seize tables possibles.

  • Interprétations ensemblistes.
    • — Il est aisé d’interpréter, à l’aide des diagrammes de Venn ou de Carroll les seize propositions logiques obtenues à partir de deux propositions. Ainsi, ci-dessous, nous avons représenté les ensembles correspondants aux tables I, II, III et IV ci-dessus.

      Table I Table II
      Table_I
      A \mathbf{\bar{A}}
      B
      \mathbf{\bar{B}}
      Table_II
      A \mathbf{\bar{A}}
      B
      \mathbf{\bar{B}}
      Table III Table IV
      Table_III
      A \mathbf{\bar{A}}
      B
      \mathbf{\bar{B}}
      Table_IV
      A \mathbf{\bar{A}}
      B
      \mathbf{\bar{B}}
    • — Un bon exercice consiste à illustrer ainsi les seize possibilités mises en évidence ci-dessus.
  • Interprétations par montages électriques.
    • — Rappelons que « et » est représenté par un montage en série (§3) et que « ou » est représenté par un montage en parallèle (§ 4).
    • — Les montages ci-dessous « illustrent » les quatre tables de valeur ci-dessus. Nous laissons au lecteur le soin de procéder de même pour les autres tables. Pour les montages I et III, il faut connaître les résultats suivants (démontrés au §6) :Schemas_p_15
  • Interprétations par un mini-ordinateur.
    • — Ces interprétations sont immédiates une fois que l’on sait que :
      1. à gauche (en regardant le pupitre de l’ordinateur J.R. 01) de chaque colonne de programmation (notée de 1 à 7), une fiche enfoncée dans un trou correspond, suivant la barrette A, B, C considérée, soit à A, soit à B, soit à C (rond plein) ;
      2. à droite de chaque colonne de programmation (dans les mêmes conditions), une fiche correspond soit à \overline{A}, soit à \overline{B}, soit à \overline{C} ;
      3. deux colonnes de programmation reliées à la même lampe de sortie correspondent à « ou » ;
      4. pour « neutraliser » une proposition, on enfonce deux fiches de part et d’autre de la colonne de programmation.
    • — Ainsi les quatre montages indiqués ci-dessus s’obtiendraient sur l’ Ordinateur J.R. 01, à l’aide des programmes I à IV ci-dessous, s’il n’y avait que deux barrettes A et B. En fait, la présence de la barrette C, qui permet une troisième information, modifie les schémas ci-dessous car il faut « neutraliser » (ne pas tenir compte de) cette troisième barrette. Nous étudierons ceci au paragraphe 7.
    • Schema_1_p_16 Schema_2_p_16
      \overline{\left|\begin{array}{c}A\\B\end{array}\right|} \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\B\end{array}\right|
      Schema_3_p_16 Schema_4_p_16
      \left|\begin{array}{c}\overline{A}\\\overline{B}\end{array}\right| \left|\begin{array}{c}A.\overline{B}\\\overline{A}.B\end{array}\right|

I-4. Savoir dire « OU »
 		I-6. Algèbre de Boole pour deux propositions.
Page suivante